Rozwiązywanie zadań z matematyki: Początki algebry. Część 4
Równanie pierwszego stopnia to znowu dość trywialny przykład (chociaż ilustracja geometryczna jest ciekawsza). A równanie kwadratowe? Każde równanie kwadratowe można przekształcić do jednej z trzech postaci:
x(x + a) = b2 , x(x − a) = b2 , x(a − x) = b2 ,
a z kolei każda z nich może zostać przełożona na język powierzchni. Na przykład, trzecia postać :
x2 + b2 = ax
Na odcinku AB = a odkładamy prostokąt AQF G o powierzchni równej b2 , tak aby powstała figura QBF L była kwadratem; pole QBLF równe jest x2 . A jak to zrobić?
Euklides podaje dokładnie przepis: w środku odcinka AB, w punkcie P wystaw prostopadły odcinek P E o długości b; następnie narysuj okrąg o środku w E i promieniu a/2.Punkt przecięcia okręgu z odcinkiem AB to punkt Q, przy czym (AQ)(QB) = (P E)2 . Widać, że wystarczy już tylko położyć QB = x i spełnione jest trzecie równanie 1-1. Uzasadnienie równości 1-2 nie jest takie trywialne. Trzeba zbudować (por. Rys. 1.6) prostokąt ABLG o bokach a i x = QB, dorzucić kwadraty P BDC i QBLF zbudowane na bokach P B = a/2 i QB = x: Następnie wypada zauważyć, że w języku pól:
AQF G + HF KC = (AP HG + P QF H) + HF KC
= P BLH + F LDK + HF KC = (P B)2
Ale prostokąt AQF G ma pole (AQ)(QF ) = (AQ)(QB); kwadrat HF KC = (P Q)2 . Czyli (AQ)(QB) + (P Q)2 = (P B)2 , albo (AQ)(QB) = (P B)2 − (P Q)2 = (P E)2
(ukłony od Pitagorasa). Dla tych, którzy są ciekawi swoich możliwości proponuję rozwiązać drugie równanie z trójki 1-1. Jeżeli są kłopoty, to pewną wskazówkę (rysunki analogiczne do przed chwilą prezentowanych) można znaleźć na Rys. 1.7. Warto tylko zauważyć, że jeżeli b = a2 to nasze równanie (x + a)x = a2 to nic innego jak złoty podział odcinka, o długości x + a na dwie części: x i a, z których dłuższa (a) jest odcinkiem średnim proporcjonalnym pomiędzy krótszą (x) i całym odcinkiem.
O złotym podziale odcinka można dużo opowiadać. Jeżeli interesuje Cię wprowadzenie w tę materię to kliknij tutaj ̇ Te geometryczne przepisy Euklidesa to nic innego jak translacja wzorów babilońskich rachmistrzów, służących do znajdywania pierwiastków równania kwadratowego, na język odcinków i pól figur przy ich pomocy konstruowanych. Ale „przy okazji” ujawnia się ważna różnica: konstrukcja geometryczna jest zawsze możliwa do wykonania, podczas gdy obliczenia algebraiczne wymagają – prędzej czy później – wyciągnięcia pierwiastka.
A to ostatnie bardzo często nie jest możliwe, jeżeli mamy do czynienia z liczbami niewymiernymi !
