Rozwiązywanie zadań z matematyki: Początki algebry. Część 3

A inne stare cywilizacje? W Chinach, w roku 213 p.Ch. (dynastia Ch’in) cesarz nakazał spalenie książek. Ale coś zostało. Znane jest na przykład dzieło Dziewięć Rozdziałów Sztuki Matematycznej , obszerna kompilacja, napisana przez kilku autorów, prawdopodobnie w okresie podobnym do powstania Elementów Euklidesa, a więc w pierwszej połowie 3. wieku przed Chrystusem. Oryginały uległy spaleniu, ale znane są fragmenty dzieła, zachowane i uzupełniane przed późniejszych matematyków. Wersja najbardziej kompletna pochodzi z wieku, ale już po Chrystusie.

A więc przed Grekami było wielu biegłych matematyków. Skąd inąd, w starożytnej Grecji, a mówiąc dokładniej – w basenie Morza Śródziemnego – w trzecim i czwartym wieku przed Chrystusem matematyka miała się rzeczywiście znakomicie, a algebra – nie najgorzej. We wspomnianych już Elementach Euklidesa można znaleźć wiele problemów par excellence algebraicznych, rozwiązanych przy pomocy metod . . . czysto geometrycznych. Można zaryzykować przypuszczenie, że starożytnym Grekom łatwiej było przeprowadzać pewne rozumowania odniesione do „rzeczywistych” sytuacji, niż atakować bezpośrednio (nieco bardziej abstrakcyjne) problemy czysto rachunkowe. Inaczej mówiąc, zamiast liczb Euklides wolał mieć zawsze do czynienia z odcinkami. Zamiast mówić o iloczynie ab Euklides mówił o prostokącie zbudowanym na odcinkach AB = a i BC = b. Zamiast o kwadracie a2 o „prawdziwym” kwadracie o krawędzi AB (por. Rys. 1.1). Konsekwentnie, znany nam dobrze wzór uproszczonego mnożenia (najprostszy przypadek dwumianu Newtona)

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

miał swoją geometryczną interpretację w takiej postaci jak na rysunku 1.2. W drugiej księdze „Elementów”, tzw. propozycja czwarta brzmi: Jeżeli podzielić odcinek na dwie części, to kwadrat zbudowany na całym odcinku jest równy sumie dwóch kwadratów, zbudowanych na każdej z powstałych części i podwojonego prostokąta zbudowanego z obu odcinków.

To sprytne, chociaż proste. Ale są i inne, ciekawsze przykłady. Na przykład, równanie pierwszego stopnia (niewiadoma x)
ax = bc

traktowano jako równość powierzchni ax i bc. Grecy konstruowali najpierw prostokąt ABCD, następnie przedłużali bok BA i odkładali na tym przedłużeniu odcinek a. Prowadząc prostą ED, otrzymujemy – na przecięciu tej prostej z przedłużeniem boku BC – odcinek x, jako odcinek CF . Rzeczywiście, pola dwóch
trójkątów EHF i EBF są równe, a po odrzuceniu z dużych trójkątów dwóch par mniejszych (EAD i EKD oraz DCF i DGF ) pozostają dwa prostokąty (KDGH i ABCD) o równych polach.