Archiwum ‘Zadania z matematyki’ kategorii
Równanie pierwszego stopnia to znowu dość trywialny przykład (chociaż ilustracja geometryczna jest ciekawsza). A równanie kwadratowe? Każde równanie kwadratowe można przekształcić do jednej z trzech postaci:
x(x + a) = b2 , x(x − a) = b2 , x(a − x) = b2 ,
a z kolei każda z nich może zostać przełożona na język powierzchni. Na przykład, trzecia postać :
x2 + b2 = ax
Na odcinku AB = a odkładamy prostokąt AQF G o powierzchni równej b2 , tak aby powstała figura QBF L była kwadratem; pole QBLF równe jest x2 . A jak to zrobić?
Euklides podaje dokładnie Czytaj dalej »
W słowniku wyrazów obcych termin algebra definiowany jest jako: gałąź matematyki, zajmująca się ogólnymi prawami (twierdzeniami) dotyczącymi relacji istniejących pomiędzy elementami pewnych zbiorów (liczb, wektorów, itp.). Język algebry jest językiem symbolicznym – zamiast mówić o konkretnym elemencie zbioru mówimy o jego ogólnym „reprezentancie”, ukrywając go pod symbolem litery.
Algebra rozwijała się jako nauka czysto „użytkowa”. Dlatego – mimo całego szacunku dla wspaniałej struktury dzieł Euklidesa – możemy nazwać grecką algebrą geometryczną ten właśnie spójny i logiczny fundament matematyki, dotyczący linii, odcinków, powierzchni, itp. Z tej bowiem teorii wynikają pewne reguły i konkretne, praktyczne sposoby – na przykład – obliczania pól figur, wysokości lub odległości przedmiotów, albo konstrukcji pewnych elementów. Algebrą będą też dobrze nam znane wzory określające pierwiastki równania
kwadratowego poprzez współczynniki poszczególnych potęg zmiennej x występujących w tym równaniu. Algebrą wektorów nazwiemy wszystkie prawa określające operacje dodawania (składania) i mnożenia wielkości wektorowych. Czytaj dalej »
Powyższy rysunek przedstawia fragment wykresu pewnej funkcji wielomianowej W (x) stop-
nia trzeciego. Jedynymi miejscami zerowymi tego wielomianu są liczby (−2) oraz 1, a po-
chodna W (−2) = 18.
a) Wyznacz wzór wielomianu W (x).
spis treści
b) Wyznacz równanie prostej stycznej do wykresu
tego wielomianu w punkcie o odciętej x = 3.
Rozwiązanie:
Wielomian ma dla x = −2 pierwiastek o krotności 1, a dla x = 1 pierwiastek o krotności 2.
Wielomian ma więc postać
:
W (x) = a (x − (−2)) (x − 1)2, przy założeniu, że „a” jest różne od 0
W (x) = a(x + 2)(x − 1)
2
W (x) = a(x + 2)(x2 − 2x + 1)
W (x) = a(x3 − 2x2 + x + 2x2 − 4x + 2)
W (x) = a(x3 − 3x + 2)
Obliczamy pochodną wielomianu:
W (x) = a(3x2 − 3)
eżeli W’ (−2) = 18 to
W ‘(−2) = a 3(−2)2 − 3
18 = a · 9 :9
a=2
W (x) = 2(x + 2)(x − 1)2
W (x) = 2(3x2 − 3) = 6x2 − 6
b) Wyznacz równanie prostej stycznej do wykresu tego wielomianu w punkcie o odciętej
x = 3.
Rówananie stycznej dla x0 = 3.
y − W (x0 ) = W (x0 )(x − x0 )
W (3) = 2(3 + 2)(3 − 1)2 = 2 · 5 · 4 = 40
W (3) = 6 · 32 − 6 = 6 · 9 − 6 = 48
y − 40 = 48(x − 3)
y = 48x − 144 + 40
y = 48x − 104
Dach wieży ma kształt powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 4 m. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60◦ .
a) Sporządź pomocniczy rysunek i zaznacz na nim podane w zadaniu wielkości.
b) Oblicz, ile sztuk dachówek należy kupić, aby pokryć ten dach, wiedząc, że do pokrycia 1 m2 potrzebne są 24 dachówki. Przy zakupie należy doliczyć 8% dachówek na zapas.
Rozwiązanie:
Dachówki kładziemy na powierzchnię boczną ostrosłupa prawidłowego czworokątnego.
dodaj do drukowania
Składa się ona z czterech przystających trójkątów. Do policzenia pól tych trójkątów po-
trzebna jest nam wysokość h.
cos 60◦ =2/h
1 /2 = 2/h
mnożymy na krzyż:
h=4m
Pole trójkąta: P= 1/2 · 4 · h = 2h = 2 · 4 = 8 m2
Pole powierzchni bocznej ostrosłupa: Pb=4· P= 4·8m2 = 32m2
Na 1 m2 potrzebujemy 24 dachówki, a na cały dach: 32 · 24 = 768
Na zapas kupujemy 8% dachówek:
8 % z 768 = 61, 44 czyli 62 dachówki kupimy.
Odp. Wszystkich dachówek kupimy 768 + 62 = 830.
